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ıllı Cálculo variacional de Malliavin (wikinfo)

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El cálculo estocástico de Paul Malliavin generaliza como se ha dicho el cálculo de alteraciones. Solo que en vez de solucionar un inconveniente variacional sobre un espacio de funciones lo hace sobre un espacio de procesos estocásticos


Principio de invariancia


El principio de invariancia frecuente para la integral de Lebesgue sobre la recta real es que, para cualquier número real e y cualquier función integrablef, la próxima condición se cumpla:


Esto puede utilizarse para inferir una fórmula de integración por partes, eligiendo f = gh y diferenciándloa respecto a e en los dos términos, lo que implica


Una idea semejante puede aplicarse en análisis estocástico para la distinción durante una dirección de Cameron-Martin-Girsanov. En verdad, si hsundefined es un proceso predecible y cuadrado integrable, se define:


Siendo Xundefined un proceso de Wiener, el teorema de Girsanov entonces implica el próximo equivalente del principio de invariancia:


Diferenciando respecto a e en los dos miembros y valorando en e=0, se consigue la próxima fórmula de integración por partes:


Aquí, el término de la izquierda es la derivada de Malliavin de la variable azarosa Fundefined en la dirección fundefined y la integral que aparece a la derecha ha de ser interpretada como una integral de Ito. Esta expresión asimismo resulta cierta (por definición) si hundefined no está amoldado, puesto que el miembro de la derecha se interpeta como una integral de Skorokhod./P> Teorema de Clark-Ocone

Uno de los resultados más útiles del cálculo variacional de Malliavin es el teorema de Clark-Ocone, que deja identificar explícitamente el proceso implicado en el teorema de representación de martingalas. Una versión simple de este teorema asevera que:


Esto puede ser reexpresado de forma concisa mediante:


Mucho de trabajo en el desarrollo forma del cálculo variacional de Malliavin implica extender este resultado a la clase más grande posible de funcionales F, sustituyendo la derivada del núcleo utilizado previamente por la "derivada" de Malliavin indicada como Dtundefined en la exposición del resultado precedente.

Integral de Skorokhod

El operador integral de Skorokhod que se indica de manera convencional a través de d se define como el operador adjunto de la derivada de Malliavin, de esta forma, para o bien en el dominio del operador (que es el un subjconjunto de L2([0,8)×O)undefined), y para F en el dominio de la derivada de Malliavin se requiere que:


donde el producto interno es el definido en L2[0,8)undefined, o sea,


La existencia de este operador adjunto se prosigue del teorema de representación de Riesz para operadores lineales sobre espacios de Hilbert. Se puede demostrarq que si o bien está amoldada entonces


donde la integral debe comprenderse en el sentido de Ito. Por ende, esto da una forma de extender la integral de Ito a integrandos no amoldados.


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